Михаил Быковский родился 19 апреля 1919 года в селе Маньково-Калитвенское Чертковского района. Его отец был служащим. Михаил окончил ростовский железнодорожный техникум, в 1940 году — 1-е Орджоникидзевское военное пехотное училище.

В июне 1941 года ушел на фронт. 1 октября 1943 года обеспечил переправу 467-го стрелкового полка на правый днепровский берег и выбил неприятеля с занимаемых позиций. Всего он отразил девятнадцать контратак противника.

Быковский погиб в бою 27 января 1944 года в районе города Калинковичи Гомельской области, освобожденном от гитлеровских оккупантов 14 января 1944 года. Его похоронили в братской могиле в Калинковичах.